【题目】启东市政府拟在蝶湖建一个旅游观光项目,设计方案如下:如图所示的圆O是圆形湖的边界,沿线段AB,BC,CD,DA建一个观景长廊,其中A,B,C,D是观景长廊的四个出入口且都在圆O上,已知:BC=12百米,AB=8百米,在湖中P处和湖边D处各建一个观景亭,且它们关于直线AC对称,在湖面建一条观景桥APC.观景亭的大小、观景长廊、观景桥的宽度均忽略不计,设.
(1)若观景长廊AD=4百米,CD=AB,求由观景长廊所围成的四边形ABCD内的湖面面积;
(2)当时,求三角形区域ADC内的湖面面积的最大值;
(3)若CD=8百米且规划建亭点P在三角形ABC区域内(不包括边界),试判断四边形ABCP内湖面面积是否有最大值?若有,求出最大值,并写出此时的值;若没有,请说明理由.
【答案】(1)平方百米;(2)
平方百米;(3)当
=
时,四边形ABCP内的湖面面积取到最大值, 最大值为32平方百米.
【解析】
(1)分别在和
中运用余弦定理,求出
,进而可得
和
,根据
即可得结果;(2)在
中,可得
,令
,
,在
中,运用余弦定理可得
,由基本不等式可得
,由
即可得结果;(3)先求出
,计算出
,进而可得结果.
解:(1)∵四边形ABCD内接于圆O,∴ABC+
ADC=
在中,
在中,
解得,∴
∴
(平方百米)
答:四边形ABCD内的湖面面积是平方百米.
(2)∵=60
,∴在
中,
=112
令,
, 在
中,
=112
∴=112
∵
∴(当且仅当x=y时,取等号)
∵
∴(平方百米)
答:三角形区域ADC内的湖面面积最大值平方百米.
(3)∵点P和点D关于直线AC对称,
∴APC=
ADC,PC=CD=8
由(1)知ABC+
ADC=
,∴
ABC+
APC=
∵ABC=
,∴
APC=
∵点P在区域内
∴,∴
∵在中,
在中,
∴
解得或
(舍去)
∵,∴四边形ABCP内的湖面面积有最大值,
答:当=
时,四边形ABCP内的湖面面积取到最大值,最大值为32平方百米
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【题目】已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是,接下来的两项是
,
,再接下来的三项是
,
,
,依此类推,若该数列前
项和
满足:①
②
是2的整数次幂,则满足条件的最小的
为
A. 21B. 91C. 95D. 10
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【题目】十二生肖,又称十二属相,中国古人拿十二种动物来配十二地支,组成子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪十二属相。现有十二生肖吉祥物各一件,甲、乙、丙三位同学一次随机抽取一件作为礼物,甲同学喜欢马、牛,乙同学喜欢马、龙、狗,丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢,则这三位同学抽取的礼物都喜欢的概率是( )
A.B.
C.
D.
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【题目】在平面直角坐标系中,过定点
作直线与抛物线
相交于
、
两点.
(1)已知,若点
是点
关于坐标原点
的对称点,求
面积的最小值;
(2)是否存在垂直于轴的直线
,使得
被以
为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存在,求出
的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知各项均为正整数的数列{an}的前n项和为Sn,满足:Sn﹣1+kan=tan2﹣1,n≥2,n∈N*(其中k,t为常数).
(1)若k=,t=
,数列{an}是等差数列,求a1的值;
(2)若数列{an}是等比数列,求证:k<t.
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【题目】2019年,河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“”模式,即语文、数学、英语必考,然后考生先在物理、历史中选择1门,再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划,张明同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析,其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.
(1)若张明同学随机选择3门功课,求他选到物理政治两门功课的概率;
(2)试根据茎叶图分析张明同学应在物理和历史中选择哪个学科?并阐述理由.
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