Question

【题目】在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线相交于、两点．

（1）已知，若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；

（2）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）满足条件的直线存在，其方程为，详见解析.

【解析】

（1）先得出点的坐标为，设，，直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式求出的面积关于的表达式，由此可得出面积的最小值；

（2）解法一：假设满足条件的直线存在，其方程为，求出线段的中点的坐标，并计算出点到直线的距离以及以为直径的圆的半径长，然后利用勾股定理可计算出截以为直径的圆所得弦长，结合弦长的表达式得出当时，弦长为定值，从而得出直线的方程；

解法二：假设满足条件的直线存在，其方程为，求出以为直径的圆的方程，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式计算出截以为直径的圆所得弦长，结合弦长的表达式得出当时，弦长为定值，从而得出直线的方程.

（1）依题意，点的坐标为，

可设，，直线的方程为，

由得．

由韦达定理得，．

于是，

当时，；

（2）解法一：假设满足条件的直线存在，其方程为，的中点为，与为直径的圆相交于点、，的中点为，则，

点的坐标为，．

因为，

，，

，

令，得，此时为定值，

故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线；

解法2：假设满足条件的直线存在，其方程为，设以为直径的圆上任意一点为：，，，，则，

则以为直径的圆方程为：，

化简为：，

直线方程代入上述方程得

则

设直线与以为直径的圆的交点为，，则有

令，得，此时为定值．

故满足条件的直线存在，其方程为，即抛物线的通径所在的直线．