Question

【题目】如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面

（I）求证：；

（II）若M为中点，求证：平面；

（III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)不存在这样的点P.

【解析】分析：（I）由，根据面面垂直的性质得到平面，从而可证明；（II）由于，建立空间直角坐标系，利用的方向向量与平面 的法向量数量积为零可得平面 ；（III）由（II）可知平面的法向量，设，利用空间向量夹角余弦公式列方程可求得，从而可得结论.

详解：证明：（I）在直三棱柱中，

∵平面 ∴

∵平面平面，且平面平面

∴平面

∴

（I）在直三棱柱中，

∵平面，∴

又，

建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，

，，，，

设平面的法向量

∵ ∴ 令 则

∵为的中点，∴

∵ ∴

又平面，∴平面

（III）由（II）可知平面的法向量

设

则

若直线DP与平面所成的角为，

则

解得

故不存在这样的点P，使得直线DP与平面所成的角为