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    【题目】选修4—4：坐标系与参数方程

    在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l：（t为参数）与曲线C：（θ为参数）相交于不同的两点A，B．

    （Ⅰ）若α＝，求线段AB中点M的坐标；

    （Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜，其中P（2，），求直线l的斜率．

    【答案】（1）；（2）.

    【解析】

    试题分析：（1）将曲线的参数方程化为普通方程，当时，设点对应参数为．直线方程为代入曲线的普通方程，得，由韦达定理和中点坐标公式求得，代入直线的参数方程可得点的坐标；（2）把直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于参数的一元二次方程，由已知条件和韦达定理可得，求得的值即得斜率.

    试题解析：设直线上的点，对应参数分别为，．将曲线的参数方程化为普通方程．

    （1）当时，设点对应参数为．直线方程为（为参数）．

    代入曲线的普通方程，得，则，

    所以，点的坐标为．

    （2）将代入，得，

    因为，，所以．

    得．由于，故．

    所以直线的斜率为．

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    (1)若点的坐标为，求椭圆的方程;

    (2)若，求椭圆的离心率的取值范围

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    （I）求证：；

    （II）若M为中点，求证：平面；

    （III）在线段BC上（含端点）是否存在点P，使直线DP与平面所成的角为？若存在，求得值，若不存在，说明理由.

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    【题目】2019年“中秋节”期间，高速公路车辆较多，交警部门通过路面监控装置抽样调查某一山区路段汽车行驶速度，采用的方法是：按到达监控点先后顺序，每隔50辆抽取一辆，总共抽取120辆，分别记下其行车速度，将行车速度（）分成七段后得到如图所示的频率分布直方图，据图解答下列问题：

    （1）求的值，并说明交警部门采用的是什么抽样方法？

    （2）求这120辆车行驶速度的众数和中位数的估计值（精确到0.1）；

    （3）若该路段的车速达到或超过即视为超速行驶，试根据样本估计该路段车辆超速行驶的概率.

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    【题目】下列四个命题：

    ①函数的最大值为1；

    ②“若，则”的逆命题为真命题；

    ③若为锐角三角形，则有；

    ④“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件．

    其中所有正确命题的序号为____________．

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    【题目】已知点在抛物线上，则当点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】某生产企业研发了一种新产品，该新产品在某网店试销一个阶段后得到销售单价和月销售量之间的一组数据，如下表所示：

    销售单价（元）

    9

    9.5

    10

    10.5

    11

    月销售量（万件）

    11

    10

    8

    6

    5

    (I)根据统计数据，求出关于的回归直线方程，并预测月销售量不低于12万件时销售单价的最大值；

    (II)生产企业与网店约定：若该新产品的月销售量不低于10万件，则生产企业奖励网店1万元；若月销售量不低于8万件且不足10万件，则生产企业奖励网店5000元；若月销售量低于8万件，则没有奖励. 现用样本估计总体，从上述5个销售单价中任选2个销售单价，求抽到的产品含有月销售量不低于10万件的概率.

    参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为. 参考数据：．

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    【题目】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为

    （1）求频率分布直方图中的值；

    （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

    （3）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.

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    【题目】某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对两位选手，随机调查了个学生的评分，得到下面的茎叶图：

    通过茎叶图比较两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；

    校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：

    所得分数

    低于分

    分到分

    不低于分

    分流方向

    淘汰出局

    复赛待选

    直接晋级

    记事件“获得的分流等级高于”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件发生的概率.

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