Question

【题目】已知各项均为正整数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：Sn﹣1+kan＝tan2﹣1，n≥2，n∈N*（其中k，t为常数）．

（1）若k＝，t＝，数列{an}是等差数列，求a1的值；

（2）若数列{an}是等比数列，求证：k＜t．

Answer 1

【答案】（1）a1＝1+，（2）见解析

【解析】

（1）由k＝，t＝，可得（n≥2），设等差数列{an}的公差为d，分别令n＝2，n＝3，利用等差数列的性质即可得出．

（2）令公比为q＞0，则an+1＝anq，利用递推关系可得1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]，易知q≠1，从而可得t＝0，从而证明．

（1）∵k＝，t＝，∴（n≥2），设等差数列{an}的公差为d，

令n＝2，则，令n＝3，则，

两式相减可得：，∵an＞0，∴a3﹣a2＝2＝d．

由，且d＝2，化为﹣4＝0，a1＞0．

解得a1＝1+．

（2）∵Sn﹣1+kan＝tan2﹣1①，n≥2，n∈N*，所以Sn+kan+1＝﹣1②，

②-①得an+kan+1﹣kan＝﹣，∴an＝（an+1﹣an）[t（an+1+an）﹣k]，

令公比为q＞0，则an+1＝anq，∴（q﹣1）k+1＝tan（q2﹣1），

∴1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N*，

1＝（q﹣1）[tan（q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴an不是一个常数；

∴t＝0，∴Sn﹣1+kan＝﹣1，且{an}是各项均为正整数的数列，∴k＜0，

故k＜t．