Question

如图，椭圆的长轴长为，点、、为椭圆上的三个点，为椭圆的右端点，过中心，且，．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设、是椭圆上位于直线同侧的两个动点（异于、），且满足，试讨论直线与直线斜率之间的关系，并求证直线的斜率为定值.

Answer 1

（1）；（2）详见解析.

试题分析：（1）利用题中条件先得出的值，然后利用条件，结合椭圆的对称性得到点的坐标，然后将点的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件
得到直线与的斜率直线的关系（互为相反数），然后设直线的方程为，将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，注意到直线与的斜率之间的关系得到点的坐标，最后再用斜率公式证明直线的斜率为定值.
（1），，
又是等腰三角形，所以，
把点代入椭圆方程，求得，
所以椭圆方程为；
（2）由题易得直线、斜率均存在，
又，所以，
设直线代入椭圆方程，
化简得，
其一解为，另一解为，
可求，
用代入得，，
为定值.