Question

如图所示,O为坐标原点,过点P(2,0)且斜率为k的直线l交抛物线y²=2x于M(x₁,y₁),N(x₂,y₂)两点.

(1)写出直线l的方程;

(2)求x₁x₂与y₁y₂的值;

(3)求证:OM⊥ON.

Answer 1

分析：

求x₁x₂及y₁y₂,可考虑用韦达定理.证明OM⊥ON,则可用k_OM·k_ON=-1或·=0来证明.

(1)解：直线l的方程为y=k(x-2)(k≠0).                           ①

(2)解：由①及y²=2x,消去y可得

k²x²-2(2k²+1)x+4k²=0.                                                   ②

点M、N的横坐标x₁与x₂是②的两个根,

由韦达定理,得x₁x₂==4.

由y₁²=2x₁,y₂²=2x₂,

得(y₁y₂)²=4x₁x₂=4×4=16.

由图可知y₁y₂＜0,所以y₁y₂=-4.

(3)证明：设OM、ON的斜率分别为k₁、k₂,

则

由(2)可知,y₁y₂=-4,x₁x₂=4,

所以k₁k₂==-1.

所以OM⊥ON.

绿色通道：

本题的一般形式为直线l与抛物线y²=2px交于M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)两点,且直线l过点P(2p,0),则x₁x₂=4p,y₁y₂=-4p,OM⊥ON.