Question

在平面直角坐标系中，已知点P（1，-1），过点P作抛物线T₀：y=x²的切线，其切点分别为M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂）．
（Ⅰ）求x₁与x₂的值；
（Ⅱ）若以点P为圆心的圆E与直线MN相切，求圆E的面积；
（Ⅲ）过原点O（0，0）作圆E的两条互相垂直的弦AC，BD，求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=x²先求出y′=2x．再由直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），得到x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或x1=1+

2

．同理可得x2=1-

2

，或x2=1+

2

，然后由x₁＜x₂知x1=1-

2

，x2=1+

2

．
（Ⅱ）由题意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，则直线MN的方程为：2x-y+1=0．再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径，可求出圆E的面积．
（Ⅲ）四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|，设圆心E到直线AC的距离为d₁，垂足为E₁，圆心E到直线BD的距离为d₂，垂足为E₂；
由此可求出四边形ABCD面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由y=x²可得，y′=2x．（1分）
∵直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），
∴2x1=

x 2 1 +1

x1-1

，即x₁²-2x₁-1=0，
∴x1=

2- 4+4

2

=1-

2

，或x1=1+

2

，（3分）
同理可得：x2=1-

2

，或x2=1+

2

（4分）
∵x₁＜x₂，∴x1=1-

2

，x2=1+

2

．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，
则直线MN的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=

x 2 1 - x 2 2

x1-x2

=x1+x2，--（6分）
∴直线M的方程为：y-y₁=（x₁+x₂）（x-x₁），又y₁=x₁²，
∴y-x₁²=（x₁+x₂）x-x₁²-x₁x₂，即2x-y+1=0．（7分）
∵点P到直线MN的距离即为圆E的半径，即r=

|2+1+1|

4+1

=

4

5

，（8分）
故圆E的面积为S=πr2=

16π

5

．（9分）
（Ⅲ）四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|
不妨设圆心E到直线AC的距离为d₁，垂足为E₁；
圆心E到直线BD的距离为d₂，垂足为E₂；
则|AC|=2

r2- d 2 1

，|BD|=2

r2- d 2 2

，（10分）
由于四边形EE₁OE₂为矩形．且d₁²+d₂²=|OE|²=（1-0）²+（-1-0）²=2（11分）
所以S=

1

2

|AC|•|BD|=2

r2- d 2 1

•

r2- d 2 2

由基本不等式2ab≤a²+b²可得
S≤(

r2- d 2 1

)2+(

r2- d 2 2

)2=2r2-(

d

2 1

+

d

2 2

)=

22

5

，
当且仅当d₁=d₂时等号成立．（14分）
注：（Ⅲ）解法较多，阅卷时可酌情给分．

点评：本题考查直线和圆锥轼线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．