Question

已知函数f（x）=

ex-e-x

2

，g（x）=

ex+e-x

2

．（x∈R，e=2.71828…）
（1）设a＞0，试证明以f（a），g（a），

g(2a)

的值为三边长的三角形是直角三角形；
（2）若g（a）•g（b）-f（a）•f（b）=1，对于a，b∈R成立，试求a-b的值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（a）=

ea-e-a

2

，g（a）=

ea+e-a

2

，

g(2a)

=

e2a+e-2a 2

；从而利用勾股定理证明；
（2）化简g（a）•g（b）-f（a）•f（b）=

ea+e-a

2

•

eb+e-b

2

-

ea-e-a

2

•

eb-e-b

2

=1可得e^b-a+e^a-b=2，从而可得a-b=0．

解答： 解：（1）证明：由题意，
f（a）=

ea-e-a

2

，
g（a）=

ea+e-a

2

，

g(2a)

=

e2a+e-2a 2

；
又f²（a）+g²（a）=（

ea-e-a

2

）²+（

ea+e-a

2

）²=

e2a+e-2a

2

；
而（

g(2a)

）²=（

e2a+e-2a 2

）²=

e2a+e-2a

2

；
故f²（a）+g²（a）=（

g(2a)

）²；
故以f（a），g（a），

g(2a)

的值为三边长的三角形是直角三角形；
（2）g（a）•g（b）-f（a）•f（b）
=

ea+e-a

2

•

eb+e-b

2

-

ea-e-a

2

•

eb-e-b

2

=

1

4

（2e^b-a+2e^a-b）=1；
故e^b-a+e^a-b=2；
故a-b=0．

点评：本题考查了指数的化简与运算及基本不等式的应用，属于中档题．