Question

若关于实数x的不等式x³-3x²-9x≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A、（-∞，5]
• B、（-∞，-22]
• C、（-∞，-2]
• D、[-14，5]

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：y=x³-3x²-9x+2，则y′=3x²-6x-9，令y′=3x²-6x-9=0，得x₁=-1，x₂=3（舍），由f（-2）=0，f（-1）=7，f（2）=-20，知y=x³-3x²-9x+2在x∈[-2，2]上的最大值为7，最小值为-20，由此能求出关于x的不等式x³-3x²-9x+2≥m对任意x∈[-2，2]恒成立的m的取值范围．

解答： 解：设y=x³-3x²-9x，则y′=3x²-6x-9，
令y′=3x²-6x-9=0，得x₁=-1，x₂=3，
∵3∉[-2，2]，∴x₂=3（舍），
列表讨论：

x	（-2，-1）	-1	（-1，2）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↑	极大值	↓

∵f（-2）=-8-12+18=-2，
f（-1）=-1-3+9=5，
f（2）=8-12-18=-22，
∴y=x³-3x²-9x在x∈[-2，2]上的最大值为5，最小值为-22，
∵关于x的不等式x³-3x²-9x≥m对任意x∈[-2，2]恒成立，
∴m≤-22，
故选：B．

点评：本题考查利用导数求函数在闭区间上最值的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．