Question

已知实数x，y满足关系式x²+y²-6x-4y+12=0．
（Ⅰ）求

y

x

的最大值和最小值；
（Ⅱ）求x-y的最大值和最小值．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）所给的等式表示以C（3，2）为圆心、半径为1的圆，而

y

x

表示圆上的点（x y）和原点（0，0）连线的斜率，设为k，则过原点的圆的切线方程为kx-y=0．再根据圆心到切线的距离等于半径求得k的值，可得故

y

x

的最大值和最小值．
（Ⅱ）令x=3+cosθ，y=2+sinθ，则 x-y=

2

sin（

π

4

-θ）+1，θ∈[0，2π），再根据正弦函数的值域求得x-y的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）关系式x²+y²-6x-4y+12=0 即 （x-3）²+（y-2）² =1，表示以C（3，2）为圆心、半径为1的圆，
而

y

x

表示圆上的点（x y）和原点（0，0）连线的斜率，设为k，则过原点的圆的切线方程为kx-y=0．
再根据圆心到切线的距离等于半径，可得

|3k-2|

k2+1

=1，求得k=

3± 3

4

，故

y

x

的最大值为

3+ 3

4

，最小值

3- 3

4

．
（Ⅱ）令x=3+cosθ，y=2+sinθ，则 x-y=cosθ-sinθ+1=

2

sin（

π

4

-θ）+1，θ∈[0，2π），
故x-y的最大值为

2

+1，最小值为-

2

+1．

点评：本题主要考查圆的一般方程，斜率公式，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，三角代换，正弦函数的值域，属于中档题．