Question

已知函数f（x）=lnx（x≥1），g（x）=

1

f′(x)

+af′（x），
（1）当a=4，g（x）的单调区间；
（2）g（x）的最小值为2，求a的值．

Answer 1

考点：导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=

1

x

，当a=4时，g（x）=

1

f′(x)

+4f′（x）=x+

4

x

，分别解出g′（x）＞0，与g′（x）＜0，即可得出；
（2）g（x）=x+

a

x

．g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．对a分类讨论：当a＜1时，当a=1时，当a＞1时，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=

1

x

，
当a=4时，g（x）=

1

f′(x)

+4f′（x）=x+

4

x

，
∴g′（x）=1-

4

x2

=

(x+2)(x-2)

x2

，
令g′（x）＞0，解得x＞2；令g′（x）＜0，解得1≤x＜2．
∴函数g（x）的单调递增区间为（2，+∞）；单调递减区间为[1，2）．
（2）g（x）=x+

a

x

．
g′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

．
当a＜1时，g′（x）＞0，函数g（x）在x≥1时单调递增，则当x=1时，函数g（x）取得最小值2，
∴g（1）=1+a=2，解得a=1，不满足条件；
当a=1时，g（x）=x+

1

x

≥2，当且仅当x=1时取等号．
当a＞1时，g′（x）=

x2-a

x2

=

(x+ a )(x- a )

x2

．
令g′（x）＞0，解得x＞

a

；令g′（x）＜0，解得1≤x＜

a

．
∴x=

a

时，g（x）取得极小值即最小值2．
∴g(

a

)=2

a

=2，解得a=1，舍去．
综上可得：a=1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．