Question

3．记max{a，b}为a、b中较大者，函数f（x）=x²+px+q的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），且x₁＜x₂，若存在整数n，使n＜x₁＜x₂＜n+1，则（　　）

• A． max{f（n），f（n+1）}＞1
• B． max{f（n），f（n+1）}＜1
• C． max{f（n），f（n+1）}＞$\frac{1}{2}$
• D． max{f（n），f（n+1）}＜$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由题意可得，f（n）＞0，f（n+1）＞0，由方程的根与系数关系可得-p=α+β，q=αβ，先寻求f（n）=f（n+1）时的条件，然后再由f（n）的表达式求解范围

解答 解：由题意可得，f（n）＞0，f（n+1）＞0，
由方程的根与系数关系可得-p=x₁+x₂，q=x₁•x₂．
当f（n）=f（n+1）时，
n²+pn+q=（n+1）²+p（n+1）+q，
即2n+1+p=0，
∴-p=2n+1，
∴x₁+x₂=-p=2n+1，
∴n=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂-1）
∵f（n）=n²+pn+q=n²-（2n+1）n+q=-n²-n+q=-n（n+1）+q
=-$\frac{1}{4}$（x₁+x₂-1）（x₁+x₂+1）+x₁•x₂
=$\frac{1-{（x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{4}$∈（0，$\frac{1}{4}$）
max{f（n），f（n+1）}的取值范围是（0，$\frac{1}{4}$），
故选：B

点评 本题主要考查了二次函数性质的应用，解题的关键是灵活应用二次函数的对称性．