Question

若实数x，y满足不等式组

2x-y≥2 ax+y≤4 y≥-1

，目标函数z=x+2y，若a=1，则z的最大值为

 

，若z存在最大值，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．若z存在最大值，利用数形结合确定满足条件的不等式关系即可．

解答： 解：（1）若a=1，作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z=x+2y得y=-

1

2

x+

1

2

z，
平移直线y=-

1

2

x+

1

2

z，
由图象可知当直线y=-

1

2

x+

1

2

z经过点A时，直线y=-

1

2

x+

1

2

z的截距最大，
此时z最大．
由

2x-y=2 x+y=4

，解得

x=2 y=2

，即A（2，2），
代入目标函数z=x+2y得z=2×2+2=6．
（2）由ax+y≤4，得y≤-ax+4，
则直线y=-ax+4过定点（0，4），
若-a≥0，即a≤0时，目标函数z=x+2y无最大值，此时不满足条件．
若-a＜0，即a＞0时，
要使z存在最大值，
则直线y=-ax+4的斜率-a，
满足-a≤-

1

2

，
即a≥

1

2

，
故此时a的取值范围为[

1

2

，+∞）
故答案为：6，[

1

2

，+∞）

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．