Question

设数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=

3+4an

2+an

，证明：对?n∈N^*，有2≤a_n＜a_n+1＜3．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得a_n+1+1=

5+5an

2+an

，a_n+1-3=

an-3

2+an

，从而

an+1+1

an+1-3

=5×

an+1

an-3

，又

a1+1

a1-3

=-3，进而

an+1

an-3

=-3×5^n-1，由此得到a_n=

9×5n-1-1

3×5n-1+1

，a_n+1-a_n=

9×5n-1

3×5n+1

-

9×5n-1-1

3×5n-1+1

=

12(5n-5n-1)

(3×5n+1)(3×5n-1+1)

＞0，从而能证明对?n∈N^*，有2≤a_n＜a_n+1＜3

解答： 解：∵数列{a_n}满足：a₁=2，a_n+1=

3+4an

2+an

，
∴a_n+1+1=

3+4an

2+an

+1=

5+5an

2+an

，
a_n+1-3=

3+4an

2+an

-3=

an-3

2+an

，
∴

an+1+1

an+1-3

=5×

an+1

an-3

，又

a1+1

a1-3

=-3，
∴{

an+1

an-3

}是首项为-3，公比为5的等比数列，
∴

an+1

an-3

=-3×5^n-1，
解得a_n=

9×5n-1-1

3×5n-1+1

，
∴a_n+1-a_n=

9×5n-1

3×5n+1

-

9×5n-1-1

3×5n-1+1

=

(9×5n-1)(3×5n-1+1)-(9×5n-1-1)(3×5n+1)

(3×5n+1)(3×5n-1+1)

=

12(5n-5n-1)

(3×5n+1)(3×5n-1+1)

＞0，
∴数列{a_n}是增数列，∴{a_n}_min=a₁=2，
∴a_n+1=

3+4an

2+an

=4-

5

2+an

＜4-

5

2+2

＜3，
∴对?n∈N^*，有2≤a_n＜a_n+1＜3．

点评：本题考查不等式的证明，综合性强，难度大，对数学思维要求较高，解题的关键是构造出{

an+1

an-3

}是首项为-3，公比为5的等比数列．