Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，
点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD
（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）求平面PAD与平面AMD所成二面角的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由AM⊥平面PBD，利用向量法求出PA=1，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（2）求出平面PAD的一条法向量和平面AMD的一条法向量，利用向量法能求出平面PAD与平面AMD所成二面角的大小．

解答： 解：（1）以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），
设PA=a（a＞0），则P（0，0，a），
∵M是PC的中点，∴M（

1

2

，

1

2

，

a

2

），

AM

=（

1

2

，

1

2

，

a

2

），

BD

=(-1，1，0)，

BP

=(-1，0，a)，
∵AM⊥平面PBD，∴

AM

⊥

BP

，∴

AM

•

BP

=-

1

2

+

a2

2

=0，
解得a=1，即PA=1，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

×PA×S正方形ABCD=

1

3

．
（2）由题意得

AB

=（1，0，0）是平面PAD的一条法向量，

AM

=（

1

2

，

1

2

，

1

2

），

AD

=（0，1，0），
设平面AMD的一条法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AM =x+y+z=0 n • AD =y=0

，取z=1，得

n

=（-1，0，1），
设平面PAD与平面AMD所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=

| AB • n |

| AB |•| n |

=

2

2

，∴θ=

π

4

，
∴平面PAD与平面AMD所成二面角的大小为

π

4

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．