Question

已知矩阵A的逆矩阵A^-1=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）求曲线xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下所得的曲线方程．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵,几种特殊的矩阵变换,逆矩阵与投影变换

专题：矩阵和变换

分析：（Ⅰ）直接计算即可；
（Ⅱ）先设xy=1上任意一点（x，y）在矩阵A所对应的线性变换作用下的像为点（x′，y′），然后计算即可．

解答： 解：（Ⅰ）因为矩阵A是矩阵A^-1的逆矩阵，
且

.

A-1

.

=

.

2 2 × 2 2 - 2 2 ×(- 2 2 )

.

=1≠0，
所以A=

2 2 - 2 2 2 2 2 2

．
（Ⅱ）设xy=1上任意一点（x，y）在矩阵A所对应的线性变换作用下的像为点（x′，y′），
则

x y

=A-1

x′ y′

=

2 2 2 2 - 2 2 2 2

x′ y′

，
由此得

x= 2 2 (x′+y′) y= 2 2 (y′-x′)

，
代入方程xy=1，得y′²-x′²=2．
所以xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为y²-x²=2．

点评：本小题主要考查矩阵及其逆矩阵、求曲线在矩阵所对应的线性变换作用下的曲线的方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．