Question

如图，EA，EC是以AB为直径的半圆的切线，AE与BC的延长线交于点F，过点C作CD⊥AB交AB于D，交BE于H．
（1）证明：E是AF的中点；
（2）若∠F=30°，AB=2，求CH的长度．

Answer 1

考点：圆的切线的性质定理的证明

专题：推理和证明

分析：（1）取AB中点O，连结OC，连结AC，由弦切角定理、三角形内角和定理、圆的性质，推导出∠ACF+∠OCD+∠BCD=90°，∠F=∠BAC=∠BCD=∠ACO=∠DCO=30°，∠FAC=∠ACF=∠ABC=60°，从而∠F=∠ECF，进而EF=EC=EA，由此能证明E是AF的中点．
（2）由∠F=30°，AB=2，得BF=4，AF=2

3

，AE=EC=

3

，由切割线定理得AF²=FC•BF，解得FC=3，BC=1，由此能求出CH．

解答： （1）证明：取AB中点O，连结OC，连结AC，
由已知得∠FAC=∠ACE=∠ABC，
∠F=∠BAC=∠BCD=∠ACO=∠DCO，
∵∠ABF+∠F=90°，∴∠FAC+∠F=90°，
∴AC⊥BF，∴∠ACF+∠OCD+∠BCD=90°，
∴∠F=∠BAC=∠BCD=∠ACO=∠DCO=30°，
∴∠FAC=∠ACF=∠ABC=60°，
∴∠ECF=180°-60°-90°=30°，
∴∠F=∠ECF，∴EF=EC=EA，
∴E是AF的中点．
（2）解：∵∠F=30°，AB=2，∴BF=4，AF=2

3

，
∴AE=EC=

3

，
∵AF是切线，BCF是割线，
∴AF²=FC•BF，即（2

3

）²=FC×4，解得FC=3，BC=1，
∴

CD

AF

=

BC

BF

=

BD

AB

=

1

4

，∴CD=

1

4

×AF=

3

2

，
∴

HD

AE

=

BD

AB

=

1

4

，∴HD=

1

4

×AE=

3

4

，
∴CH=CD-HD=

3

2

-

3

4

=

3

4

．

点评：本题考查线段的中点的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意弦切角定理、三角形内角和定理、切割线定理的合理运用．