Question

在四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°
（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；
（2）求二面角B-AE-C的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，由已知得AO⊥BE，DO⊥BE，从而AO⊥平面BCDE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DE所成角为60°．
（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AE-C的余弦值．

解答： 解：（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，
∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，
又∵平面ABE⊥平面BCDE，
平面ABE∩平面BCDE=BE，
∴AO⊥平面BCDE，
由题意，BE²=2AB²=2DB²，
∴AB=BD=DE=AE，
设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），
E（-1，1，0），A（-

1

2

，

1

2

，

2

2

），
则

AB

=（

1

2

，-

1

2

，-

2

2

），

DE

=（-1，0，0），
∵cos＜

AB

，

DE

＞=

AB • DE

| AB |•| DE |

=

- 1 2

1 4 + 1 4 + 1 2

=-

1

2

，
∴

AB

与

DE

的夹角为120°，
异面直线AB与DE所成角为60°．
（2）设平面ACE的法向量

n

=（x，y，z），

AB

=（

1

2

，-

1

2

，-

2

2

），

BE

=（-1，1，0），
则

n • AB = 1 2 x- 1 2 y- 2 2 z=0 n • BE =-x+y=0

，取x=1，得

n

=（1，1，0），
设平面ABE的法向量为

m

=（a，b，c），

EA

=（

1

2

，-

1

2

，

2

2

），

EC

=(2，-1，0)，
则

m • EA = 1 2 a- 1 2 b- 2 2 c=0 m • EC =2a-b=0

，取a=1，得

m

=（1，2，

2

2

），
设二面角B-AE-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| m • n |

| m |•| n |

=

3

11

=

3 11

11

．
∴二面角B-AE-C的余弦值为

3 11

11

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．