Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，直线l：y=3与C交于A、B两点，l与y轴交于点N，且∠AFB=120°．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当0＜p＜6时，设C在点Q处的切线与直线l、x轴依次交于M、D两点，以MN为直径作圆G，过D作圆G的切线，切点为H，试探究；当点Q在C上移动（Q与原点不重合）时，线段DH的长度是否为定值？

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：探究型,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出抛物线的焦点和准线方程，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，对p讨论，①当0＜p＜6时，②当p≥6时，列出方程，解得p即可；
（2）设出Q的坐标，求出y=

1

4

x²的导数，求出切线的斜率和切线方程，进而得到M，D的坐标，再求出圆G的圆心和半径，结合切线的性质和勾股定理，可得DH的长，化简即可得到定值．

解答： 解：（1）抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，

p

2

），
准线方程为y=-

p

2

，
设直线y=3与y轴交于点N，即N（0，3），
①当0＜p＜6时，由抛物线的定义可得|FA|=3+

p

2

，|FN|=3-

p

2

，
由∠AFB=120°，则|FA|=2|FN|，
即有3+

p

2

=2（3-

p

2

），解得p=2，
即有抛物线的方程为x²=4y；
②当p≥6时，由抛物线的定义可得|FA|=3+

p

2

，|FN|=

p

2

-3，
由∠AFB=120°，则|FA|=2|FN|，
即有3+

p

2

=2（

p

2

-3），解得p=18，
即有抛物线的方程为x²=36y．
综上可得，抛物线方程为x²=4y或x²=36y．
（2）当0＜p＜6时，抛物线方程为x²=4y，
设Q（m，

1

4

m²），y=

1

4

x²的导数为y′=

1

2

x，则有切线斜率为

1

2

m，
切线方程为y-

1

4

m²=

1

2

m（x-m），令y=0可得x=

1

2

m；令y=3可得x=

1

2

m+

6

m

．
即有M（

1

2

m+

6

m

，3），D（

1

2

m，0），
以MN为直径作圆G，G（

1

4

m+

3

m

，3），设圆G的半径为r，r=

1

2

|MN|=|

1

4

m+

3

m

|，
由DH⊥HG，由勾股定理可得|DH|=

|DG|2-r2

=

( 1 4 m- 3 m )2+32-( 1 4 m+ 3 m )2

=

9-2×2× 3 4

=

6

．
则有当点Q在C上移动（Q与原点不重合）时，线段DH的长度为定值，且为

6

．

点评：本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查直线和圆的位置关系，运用切线的性质和函数的导数求切线方程是解题的关键．