Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，A₁A=

6

，M是CC₁的中点．
（1）求证：A₁B⊥AM；
（2）求二面角B-AM-C的平面角的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：空间角,空间向量及应用

分析：（1）以C为原点，CB，CA，CC₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能证明A₁B⊥AM．
（2）求出平面AMC的一个法向量和平面BAM的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-AM-C的平面角的大小．

解答： （1）证明：以C为原点，CB，CA，CC₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），A（0，

3

，0），A1(0，

3

，

6

)，
M（0，0，

6

2

），

A1B

=（1，-

3

，-

6

），

AM

=（0，-

3

，

6

2

），
∵

A1B

•

AM

=0+3-3=0，
∴A₁B⊥AM．
（2）解：∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴CC₁⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，∴CC₁⊥BC，
∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，
又AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁，即BC⊥平面AMC，
∴

CB1

=（1，0，0）是平面AMC的一个法向量，
设

n

=（x，y，z）是平面BAM的法向量，

BA

=（-1，

3

，0），

BM

=（-1，0，

6

2

），
∴

n • BA =-x+ 3 y=0 n • BM =-x+ 6 2 z=0

，
取z=2，得

n

=（

6

，

2

，2），
∴cos＜

CB

，

n

＞=

CB • n

| CB |•| n |

=

2

2

．
∴二面角B-AM-C的平面角的大小为45°．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．