Question

已知函数f（x）=ax²-2x-1，（a∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）解关于x的方程f（x）=0；
（3）当a≥1时，f（x）在[2，4]上的最小值为3，求f（x）在[2，4]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）讨论a，结合一元二次函数的性质即可判断函数f（x）的单调性；
（2）讨论a的取值范围即可解关于x的方程f（x）=0；
（3）当a≥1时，判断函数的单调性，结合函数f（x）的对称轴之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）当a=0时，函数f（x）=-2x-1在R上为减函数；…（1分）
当a≠0时，f（x）的对称轴为x=

1

a

若a＞0时，函数f（x）在(-∞，

1

a

]上为减函数，在[

1

a

，+∞)上为增函数   …（3分）
若a＜0时，函数f（x）在(-∞，

1

a

]上为增函数，在[

1

a

，+∞)上为减函数   …（5分）
（2）方程f（x）=0，即ax²-2x-1=0
当a=0时，方程-2x-1=0有1个实根x=-

1

2

，…（6分）
当a≠0时，△=4+4a…（7分）
①若△＜0，即a＜-1时，方程ax²-2x-1=0没有实根        …（8分）
②若△=0，即a=-1时，方程ax²-2x-1=0有1个实根x=-1…（9分）
③若△＞0，即a＞-1且a≠0时，方程ax²-2x-1=0有2个实根x=

1± 1+a

a

…（10分）
（3）当a≥1时，函数f（x）=ax²-2x-1开口向上，对称轴为x=

1

a

∈(0，1]…（11分）
∴f（x）在区间[2，4]上为增函数
∴f（x）_min=f（2）=4a-5=3，得a=2
∴f（x）=2x²-2x-1…（13分）
∴f（x）_max=f（4）=23…（14分）

点评：本题主要考查函数单调性和函数最值的求解，利用一元二次函数的性质结合一元二次函数对称性的性质是解决本题的关键．