Question

f（x）是定义在R上的函数，且满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，若函数g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M和最小值m，则M+m=

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数f（x）的特征，构造与f（x）、g（x）相关的奇函数，利用奇函数的图象对称性，得到相应的最值关系，从而得到g（x）的最大值M与最小值m的和，得到本题结论．

解答： 解：∵f（x）是定义在R上的函数，且对任意x，y∈R，均有f（x+y）=f（x）+f（y）+2015成立，
∴取x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0）+2015，f（0）=-2015，
取y=-x，得到：f（0）=f（x）+f（-x）+2015，
∴f（x）+f（-x）=-4030．
记h（x）=f（x）+sin2015x+2015，
则h（-x）+h（x）=[f（-x）+sin（-x）+2015]+f（x）+sin2015x+2015
=f（x）+f（-x）+4030=-4030+4030=0，
故y=h（x）为奇函数．
记h（x）的最大值为A，则最小值为-A．
∴g（x）=f（x）+sin2015x有最大值M=A-2015和最小值m=-A-2015，
则M+m=A-2015+（-A-2015）=-4030，
故答案为：-4030．

点评：本题考查了函数奇偶性及其应用，还考查了抽象函数和构造法，根据条件构造奇函数是解决本题的关键．