Question

已知f（x）对任意的实数m，n都有：f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且当x＞0时，有f（x）＞1．
（1）求f（0）；
（2）求证：f（x）在R上为增函数；
（3）若f（1）=2，且关于x的不等式f（ax-2）+f（x-x²）＜3对任意的x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）令m=0即可；
（2）根据函数单调性的定义进行证明，将f（x₂）变形成f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），从而得到函数的单调性；
（3）f（ax-2）+f（x-x²）=f（ax-2+x-x²）+1＜3，根据f（1）=2及f（x）在R上为增函数即得x²-（a+1）x+3＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，故只需讨论△的正负情况即可．

解答： （1）解：令m=0，则f（0+n）=f（0）+f（n）-1，即f（0）=1；
（2）证明：任取x₁，x₂∈R且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵当x＞0时，有f（x）＞1，
∴f（x₂-x₁）＞1，
∵f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1＞1+f（x₁）-1=f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
即f（x）在R上为增函数；
（3）∵f（ax-2）+f（x-x²）=f（ax-2+x-x²）+1＜3
∴f（ax-2+x-x²）＜2
又∵f（1）=2及f（x）在R上为增函数
∴ax-2+x-x²＜1对任意的x∈[1，+∞）恒成立，
即x²-（a+1）x+3＞0对任意的x∈[1，+∞）恒成立．
下面对△=（a+1）²-12的正负情况进行讨论：
①当△＜0，即（a+1）²-12＜0时，
-2

3

-1＜a＜2

3

-1
②当△=0且x²-（a+1）x+3=0的解小于1时，
则a=±2

3

-1，x=

a+1

2

＜1，
故a=-2

3

-1；
③当△＞0且x²-（a+1）x+3=0的最大解小于1时，
即0＜a²+2a-11＜a²-2a+1，
解得a＜-2

3

-1或2

3

-1＜a＜3，
综合所述，a＜2

3

-1或2

3

-1＜a＜3．

点评：本题主要考查了抽象函数，及其函数的单调性和不等式的解法，着重考查了函数的简单性质和函数恒成立问题等知识点，属于中档题．