Question

如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3BC，CD=

2

BC，过C作CE⊥AD于E，沿CE折叠，使平面DCE⊥平面ABCE，如图2．
（1）如果在AD上存在一点F，使BF∥平面DCE，证明：F为AD的中点；
（2）求二面角C-BD-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AE=2BC，取AD中点F，AE中点M，连结FM、BF、BM，从而FM∥DE，BC

∥

.

ME，进而四边形BCEM是平行四边形，BM∥EC，由此得到平面DEC∥平面FMB，从而BF∥平面DCE，进而能证明在AD上存在一点F，使BF∥平面DCE，则F为AD的中点．
（2）以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=1，求出平面BDC的法向量和平面ABD的法向量，由此利用向量法能求出二面角C-BD-A的大小．

解答： （1）证明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3BC，
过C作CE⊥AD于E，
∴AE=2BC，取AD中点F，AE中点M，连结FM、BF、BM，
则FM∥DE，BC

∥

.

ME，∴四边形BCEM是平行四边形，
∴BM∥EC，又BM∩FM=M，
∴平面DEC∥平面FMB，
又BF?平面BMF，∴BF∥平面DCE，
故在AD上存在一点F，使BF∥平面DCE，则F为AD的中点．
（2）解：∵CE⊥AD于E，沿CE折叠，使平面DCE⊥平面ABCE，
∴EC、EA、ED两两垂直，以E为原点，EC为x轴，EA为y轴，ED为z轴，
建立空间直角坐标系，设BC=1，
则C（1，0，0），B（1，1，0），D（0，0，1），A（0，2，0），

BD

=（-1，-1，1），

BC

=（0，-1，0），

BA

=（-1，1，0），
设平面BDC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BD =-x-y+z=0 n • BC =-y=0

，取x=1，得

n

=（1，0，1），
设平面ABD的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • BA =-a+b=0 m • BD =-a-b+c=0

，取a=1，得

m

=（1，1，2），
设二面角C-BD-A的平面角为θ，
cosθ=

| n • m |

| n |•| m |

=

3

2 × 6

=

3

2

，∴θ=

π

6

．
∴二面角C-BD-A的大小为

π

6

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．