Question

如图，在直角△ABC中，B=90°，BC=1，AB=

3

，其中D，E分别是线段AB和AC的点，且

AD

AB

=

AE

AC

=λ（0＜λ＜1），将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使得平面A′DE⊥平面BCED．
（Ⅰ）证明：DE⊥A′B；
（Ⅱ）是否存在这样的实数λ，使得二面角B-A′C-E的大小为90°，如果存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得DE⊥AB，从而折叠后DE⊥A′D，DE⊥BD．由此能证明DE⊥A′B．
（Ⅱ）以D点为原点，DE为x轴，DB为y轴，DA'为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出面A′BC的法向量和面A′EC的法向量，由二面角B-A′C-E的大小为90°，能坟出存在λ=

1

2

满足条件．

解答： （Ⅰ）证明：∵在直角△ABC中，B=90°，BC=1，AB=

3

，
其中D，E分别是线段AB和AC的点，
且

AD

AB

=

AE

AC

=λ（0＜λ＜1），
∴DE⊥AB，∴折叠后DE⊥A′D，DE⊥BD．
又A′D∩BD=D，∴DE⊥平面A′DB，
又A′B?平面A′DB，∴DE⊥A′B．
（Ⅱ）解：以D点为原点，DE为x轴，DB为y轴，
DA'为z轴，建立空间直角坐标系，
A′（0，0，

3

λ），E（λ，0，0），
B（0，

3

（1-λ），0），C（1，

3

（1-λ），0），

BA′

=（0，

3

λ-

3

，

3

λ），

BC

=（1，0，0），
设面A′BC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • BA′ =( 3 λ- 3 )y+ 3 λz=0 n • BC =x=0

，取y=1，得

n

=（0，1，

1

λ

-1），

EA′

=（-λ，0，

3

λ），

EC

=（1-λ，

3

(1-λ)，0），
设面A′EC的法向量为

m

=（a，b，c），
则

m • EA′ =-λa+ 3 λc=0 m • EC =(1-λ)a+ 3 (1-λ)b=0

，取a=

3

，得

m

=（

3

，-1，1），
∵二面角B-A′C-E的大小为90°，
∴

n

•

m

=

3

×0-1×1+

1

λ

-1=0，
解得λ=

1

2

，故存在λ=

1

2

满足条件．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线垂直、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．