Question

正四棱柱ABCD-ABCD中，已知AB=2，E，F分别是D₁B，AD的中点，cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

（1）以D为坐标原点，建立适当的坐标系，求出E点的坐标；
（2）证明：EF⊥D₁B且EF⊥AD
（3）求二面角D₁-BF-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面向量数量积的运算,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设D₁（0，0，2m）（m＞0），则E（1，1，m）．由cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

，利用向量法求出m=1，从而E点坐标为（1，1，1）．
（2）由已知得正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为2的正方体．由向量法得到

BD1

•

EF

=0，

AD

•

EF

=0，由此能证明EF⊥D₁B且EF⊥AD．
（3）求出平面FD₁B的法向量和平面BFC的法向量，由此利用向量法能求出二面角D₁-BF-C的余弦值．

解答： （1）解：以D为原点，DA，DC，DD₁所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0）．
设D₁（0，0，2m）（m＞0），则E（1，1，m）．
∵

CE

=（1，-1，m），

DD1

=（0，0，2m）
∵cos＜

DD1

，

CE

＞=

3

3

，
∴cos＜

CE

，

DD1

＞=

CE • DD1

| CE |•| DD1 |

=

2m2

2+m2 • 4m2

=

3

3

，
解得m=1，故E点坐标为（1，1，1）．
（2）证明：由（1）可知，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为2的正方体．
又∵FD=1，∴F（1，0，0），
∴

BD1

=（-2，-2，2），

EF

=（0，-1，-1），

AD

=（-2，0，0），
∴

BD1

•

EF

=0+2-2=0，

AD

•

EF

=0+0+0=0，
∴

BD1

⊥

EF

，

AD

⊥

EF

，
∴EF⊥D₁B且EF⊥AD．
（3）解：D₁（0，0，2），B（2，2，0），F（0，1，0），
C（0，2，0），

D1B

=（2，2，-2），

D1F

=（0，1，-2），
设平面FD₁B的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • D1F =y-2z=0 n • D1B =2x+2y-2z=0

，取z=1，得

n

=（-1，2，1），
又平面BFC的法向量

m

=（0，0，1），
设二面角D₁-BF-C的平面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

1

6

=

6

6

，
∴二面角D₁-BF-C的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查点的坐标的求法，考查直线与直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，是中档题．