Question

如图AC是圆O的直径，B、D是圆O上两点，AC=2BC=2CD=2，PA⊥圆O所在的平面，

BM

=

1

3

BP

．
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）若CM与平面PAC所成角的正弦值为

5

5

时，求AP的值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）作ME⊥AB于E，连接CE，则ME∥AP，由AC是圆O的直径，得到∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD，从而EC∥AD，由此能证明CM∥平面PAD． 
（Ⅱ）以A为原点，直线AB，AP分别为x，z轴建立空间坐标系，求出面PAC的法向量为

n

=（x，y，z），利用向量法能求出AP的值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：作ME⊥AB于E，连接CE，则ME∥AP，…①
∵AC是圆O的直径，AC=2BC=2CD=2，
∴AD⊥DC，AB⊥BC，∴∠BAC=∠CAD=30°，…（2分）
∠BCA=∠DCA=60°，AB=AD=

3

，

BM

=

1

3

BP

，∴

BE

=

1

3

BA

=

3

3

，tan∠BCE=

BE

BC

=

3

3

，
∴∠BCE=∠ECA=30°=∠CAD，∴EC∥AD，…②，…（4分）
由①②，且ME∩CE=E，
得平面MEC∥平面PAD，CM?平面MEC，CM?平面PAD，
∴CM∥平面PAD． …（6分）
（Ⅱ）解：依题意，如图以A为原点，直线AB，AP分别为x，z轴建立空间坐标系，
设AP=a，则A（0，0，0），B（

3

，0，0），C（

3

，1，0），P（0，0，a），D（

3

2

，

3

2

，0），
设面PAC的法向量为

n

=（x，y，z），设CM与平面PAC所成角为θ，
，
设x=

3

，∴

n

=（

3

，-3，0），…（8分）

CM

=

CB

+

BM

=

CB

+

1

3

BP

，∴

CM

=(-

3

3

，-1，

a

3

)，
∴sinθ=|cos＜

CM

，

n

＞|=

| CM • n |

| CM |•| n |

=

2

12 × 3+9+a2 9

=

3

12+a2

=

5

5

，…（10分）
解得a=

3

．∴AP的值为

3

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．