Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线与此抛物线相交于A，B两点，O是坐标原点，当|

OB

|≤|

FB

|时，直线AB倾斜角的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设B（m，n），则n²=2pm，（m＞0），求出焦点F的坐标，运用两点间的距离可得点B的横坐标m≤

p

4

，再求n的范围，即可求出直线AB（即直线FB）的斜率的取值范围，再由斜率的公式即可得到倾斜角的范围．

解答： 解：设B（m，n），则n²=2pm，（m＞0），
又抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F为（

p

2

，0），
当|

OB

|≤|

FB

|时，即有

m2+n2

≤

(m- p 2 )2+n2

，化简可得
点B的横坐标m≤

p

4

，此时n²≤

p2

2

，即-

2

2

p≤n≤

2

2

p，
故直线AB（即直线FB）的斜率

n-0

m- p 2

的取值范围是[-2

2

，0）∪（0，2

2

]，
则有AB的倾斜角范围为[π-arctan2

2

，π）∪（0，arctan2

2

]．
故答案为：[π-arctan2

2

，π）∪（0，arctan2

2

]．

点评：本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识，主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于中档题．