Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），求数列{a_n}的通项公式．（可能用到的结论：1×2×3×4×…×n=n!）

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，可得a_n+1=（n+1）a_n．当n=2时，a₂=a₁=1．当n≥2时，利用“累乘求积”即可得出．

解答： 解：∵a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），
∴a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
∴a_n+1-a_n=na_n，
∴a_n+1=（n+1）a_n．
当n=2时，a₂=a₁=1．
∴当n≥2时，
a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•a₂=n×（n-1）×…×3×1=

1

2

×n!．
∴an=

1，n=1 1 2 n!，n≥2

．

点评：本题考查了递推式的应用、“累乘求积”、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．