Question

已知数列{b_n}的通项公式b_n=log₂

2n

2n-1

，T_n为b_n的前n项和，求证：2T_n＞log₂（2n+1），n∈N^*．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,综合题

分析：由不等式（2n）²＞（2n+1）（2n-1），得(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n-1

，两边取对数后利用对数的运算性质展开，然后裂项求和证得答案．

解答： 解：∵（2n）²＞（2n+1）（2n-1），∴(

2n

2n-1

)2＞

2n+1

2n-1

，
两边取对数得2log2

2n

2n-1

＞log2

2n+1

2n-1

，
即2b_n＞log₂（2n+1）-log₂（2n-1），
∴2T_n＞（log₂3-log₂1）+（log₂5-log₂3）+…+[log₂（2n+1）-log₂（2n-1）]=log₂（2n+1）．

点评：本题考查了裂项相消法求数列的和，考查了对数式的运算性质，考查了放缩法证明数列不等式，是中档题．