Question

如图所示，在四面体P-ABC中，∠ABC=90°，PA=PB=PC，D是AC的中点，求证：PD垂直于△ABC所在的平面．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：连接BD、PD，由已知先证明△PAD≌△PBD，可得∠PDA=∠PDB，由PA=PC，D是AC的中点，可得PD⊥AC，PD⊥BD，即可证明PD垂直于△ABC所在的平面．

解答： 证明：连接BD、PD，
∵∠ABC=90°，D是AC中点，
∴BD=

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AC=AD=CD，
又∵PA=PB，PD=PD，
∴△PAD≌△PBD，
∴∠PDA=∠PDB，
∵PA=PC，D是AC的中点，
∴PD⊥AC即∠PDA=90°，
∴∠PDB=∠PDA=90°，
∴PD⊥BD，
∴PD垂直AC和BD组成的平面即PD垂直于△ABC所在平面．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于中档题．