Question

已知函数f（x）=cos²x+sinx+a，当f（x）=0时有实数解，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：令t=sinx，则由题意可得方程t²-t-1-a=0 在[-1，1]上有解．令g（t）=t²-t-1-a，再根据g（t）的最小值g（

1

2

）≤0，求得a的范围．

解答： 解：函数f（x）=cos²x+sinx+a=1-sin²x+sinx+a，
当f（x）=0时有实数解，令t=sinx，则方程-t²+t+1+a=0 在[-1，1]上有解，
即方程t²-t-1-a=0 在[-1，1]上有解．
令g（t）=t²-t-1-a，则最小值g（

1

2

）=-

5

4

-a≤0，求得a≥-

5

4

．

点评：本题主要考查三角函数的最值，二次函数的性质应用，属于基础题．