Question

如图，已知平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为菱形，∠BAD=60°，O是线段AD的中点，E是PB上一点，过直线AD与点E的平面与平面PBC的交线是EF．
（1）证明：AD∥EF；
（2）证明：BO⊥平面PAD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）先证BC∥平面ADEF，后利用线面平行性质定理得到EF∥BC，再由平行公里即可得到AD∥EF；
（2）连接BO，PO，可证AD⊥OB，再利用平面PAD⊥平面ABCD，OB?平面ABCD，PO?平面PAD，PO∩AO=O，OB⊥PO，即可得证BO⊥平面PAD．

解答： 解：（1）∵AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADFE，
∴BC∥平面ADEF，
∵EF=平面ADEF∩平面PBC，BC?平面PBC，
∴BC∥EF．
又∵AD∥BC，
∴AD∥EF．

（2）连接BO，PO，
∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O是线段AD的中点，
∴AD⊥OB，
∵平面PAD⊥平面ABCD，OB?平面ABCD，PO?平面PAD，PO∩AO=O，
∴OB⊥PO，
∴OB⊥平面PAD．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，直线与直线平行，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．