Question

有甲、已两种商品，经销这两种商品所能获得的利润依次是p万元和q万元，它们与投入的资金x万元的关系有经验公式：p=

1

10

x，q=

2

5

x

．现有资金9万元全部投入经销甲、乙两种商品，为了获取最大利润，问：对甲、乙两种商品的资金分别投入多少万元能获得最大利润？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：如果设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（9-x）万元，获取的利润为y万元；那么y=p+q，代入可得关于x的解析式，利用换元法得到二次函数f（t），再由二次函数的图象与性质，求导y的最大值，和对应的t、x．

解答： 解：设对乙商品投入资金x万元，则对甲投入资金为（9-x）万元，此时获取利润为y万元；
则由题意知，y=p+q=

1

10

（9-x）+

2

5

x

（0≤x≤9）．
令

x

=t，则y=-

1

10

（t-2）²+1.3（其中0≤t≤3）；
根据二次函数的图象与性质知，当t=2时，y有最大值，为1.3；
又t=2，得x=4（万元），∴9-x=5（万元）；
所以，对甲投入资金5万元，对乙投资4万元时，获取利润最大，为1.3万元．

点评：本题考查了换元法的应用，运用换元法解题时，要注意换元前后函数自变量取值范围的变化，以免出错．