Question

（1）函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为6，求a的值；
（2）0≤x≤2，求函数y=4 x-

1

2

-3•2^x+5的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据指数函数的性质建立方程关系即可求a的值；
（2）利用换元法设t=2^x，将函数转化为关于t的一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）函数f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为6，
则a+a²=6，
即a²-a-6=0，
解得a=3或a=-2（舍），
故a=3；
（2）y=4 x-

1

2

-3•2^x+5=

1

2

•4^x-3•2^x+5=

1

2

•（2^x）²-3•2^x+5，
设t=2^x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
则函数等价为y=g（t）=

1

2

•t²-3•t+5=

1

2

•（t-3）²+

1

2

，
∴当t=3时，函数取得最小值为g（3）=

1

2

，
当t=1时，函数取得最大值为g（1）=

5

2

．

点评：本题主要考查函数最值的应用，利用指数函数单调性和一元二次函数的性质是解决本题的关键．