Question

设函数f（x）=

a

•

b

，其中向量

a

=（

2

cosx+1，

3

cosx），

b

=（

2

cosx-1，2sinx），x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期、对称轴方程和对称中心的坐标．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（I）利用数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式即可得出；
（II）（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x）的最小正周期为π，令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

1

2

kπ+

π

6

，即可得出可得对称轴方程．令2x+

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

12

，即可得出可得对称中心的坐标．

解答： 解：（Ⅰ）依题意f（x）=2cos²x-1+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x
=2sin（2x+

π

6

）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x）的最小正周期为π，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，解得x=

1

2

kπ+

π

6

，可得对称轴方程为x=

1

2

kπ+

π

6

，k∈Z．
令2x+

π

6

=kπ，解得x=

kπ

2

-

π

12

，可得对称中心的坐标为(

k

2

π-

π

12

，0)，k∈Z．

点评：本题考查了数量积运算性质、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．