Question

设

a

=（cosx，-1），

b

=（sinx-cosx，-1），函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

（1）用五点作图法画出函数f（x）在一个周期上的图象；
（2）求函数f（x）的单调递减区间和对称中心的坐标；
（3）求不等式f（x）≥

1

2

的解集； 
（4）如何由y=

2

2

sinx的图象变换得到f（x）的图象．

Answer 1

考点：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,平面向量数量积的运算,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：作图题,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：（1）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角差的正弦公式，化简f（x），再由五点法画图步骤，即可得到一个周期内的图象；
（2）由图象求得一个周期内的单调减区间和对称中心，再由周期即可得到；
（3）可令

π

4

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

4

+2kπ，解不等式即可得到解集；
（4）运用图象变换的特点，先相位变换，再周期变换，即可得到．

解答： 解：（1）由

a

=（cosx，-1），

b

=（sinx-cosx，-1），
则函数f（x）=

a

•

b

-

1

2

=cosx（sinx-cosx）+1-

1

2

=sinxcosx-cos²x+

1

2

═

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=

2

2

sin（2x-

π

4

）．
列表如下：

2x- π 4	0	π 2	π	3π 2	2π
x	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	9π 8
f（x）	0	2 2	0	- 2 2	0

描点画出函数f（x）在一个周期上的图象，如图所示：
（2）由图象可得[

π

8

，

9π

8

]内的减区间为[

3π

8

，

7π

8

]
则函数f（x）在R上的单调递减区间为[kπ+

3π

8

，kπ+

7π

8

]（k∈Z）；
由2x-

π

4

=kπ（k∈Z），可得x=

kπ

2

+

π

8

，
即有对称中心的坐标为（

kπ

2

+

π

8

，0）．
（3）不等式f（x）≥

1

2

即为sin（2x-

π

4

）≥

2

2

，
即有

π

4

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

4

+2kπ，（k∈Z），可得

π

4

+kπ≤x≤kπ+

π

2

，
则解集为{x|

π

4

+kπ≤x≤kπ+

π

2

}（k∈Z）；
（4）先将y=

2

2

sinx的图象向右平移

π

4

个单位，可得y=

2

2

sin（x-

π

4

）的图象，
再将所有的点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），可得y=

2

2

sin（2x-

π

4

）的图象．

点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查三角函数的恒等变换和五点法画图及正弦函数的图象变换，由图象求得单调减区间和对称中心以及不等式的解集是解题的关键．