Question

已知函数f（x）满足f（x-1）=-f（-x+1），且当x≤0时，f（x）=x³，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2

2

f（x）恒成立，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件确定函数是奇函数，求出函数f（x）的表达式，并判断函数的单调性，利用函数的单调性将不等式恒成立进行转化，即可求出t的最大值．

解答： 解：由f（x-1）=-f（-x+1），得f（x0）=-f（-x-1+1）=-f（x），
即函数f（x）是奇函数，
若x＞0，则-x＜0，则f（-x）=-x³=-f（x），
即f（x）=x³，（x＞0），
综上f（x）=x³，
则不等式f（x+t）≥2

2

f（x）等价为不等式f（x+t）≥f（

2

x），
∵f（x）=x³，为增函数，
∴不等式等价为x+t≥

2

x在x∈[t，t+2]恒成立，
即：t≥（

2

-1）x，在x∈[t，t+2]恒成立，
即t≥（

2

-1）（t+2），
即（2-

2

）t≥2（

2

-1），
则t≥

2( 2 -1)

2- 2

=

2

，
故实数t的取值范围[

2

，+∞），
故答案为：[

2

，+∞）

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性求出函数的表达式以及判断函数的单调性是解决本题的关键．