Question

设正四面体ABCD的所有棱长都为1米，有一只蚂蚁从点A开始按以下规则前进：在每一个顶点处等可能的选择通过这个顶点的三条棱之一，并且沿着这条棱爬到尽头，
（1）求它爬了4米之后恰好位于顶点A的概率
（2）求它爬了3米后经过B的次数x的分布列和均值．

Answer 1

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，设这个四面体的四个顶点分别为ABCD，如果爬到第三次时，蚂蚁在A点，第四次一定不在A点，设蚂蚁第三次在A点的概率为p，那么最后的答案就是

1-p

3

，以此类推蚂蚁第一次爬完之后在A点的概率为0，由此能得到结果．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，
假设这个四面体的四个顶点分别为ABCD，蚂蚁从A开始爬．
如果爬到第三次时，蚂蚁在A点，那么第四次就一定不在A点，
∴设蚂蚁第三次在A点的概率为p，那么最后的答案就是

1-p

3

，①
设蚂蚁第二次在A点的概率为q，那么最后的概率就是p=

1-q

3

，②
显然蚂蚁第一次爬完之后在A点的概率为0，
那么q=

1-0

3

，③
将③代入②，得p=

1- 1 3

3

=

2

9

，④
将④代入①得P=

1- 2 9

3

=

7

27

．
故它爬了4米之后恰好位于顶点A的概率为

7

27

．
（2）由已知得X的可能取值为0，1，2，
P（X=0）=

2

3

×

2

3

×

2

3

+

2

3

×

2

3

×

2

3

=

16

27

，
P（X=1）=

1

3

×1×

2

3

+

2

3

×

1

3

×1+

2

3

×

2

3

×

1

3

=

8

27

P（X=2）=

1

3

×1×

1

3

=

1

9

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	16 27	8 27	1 9

∴EX=0×

16

27

+1×

8

27

+2×

1

9

=

14

27

．

点评：本题考查等可能事件的概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查用方程思想解决概率的实际问题，本题是一个比较好的题目，题目的解法不是一个常规解法，需要认真分析．