Question

如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD与底面ABCD互相垂直，且所有棱长均为2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）若AB⊥AD，过点O作平面α与平面PBC平行，求所得截面的面积；
（Ⅱ）若BD=2，二面角A-PC-B的大小为θ，求cosθ的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）过O作BN平行线，交AB于E，交DN于F，取AD中点M，连结PM，取PM中点N，连结NE，NF，连结MO，NO，则平面α即平面EFN，由此能求出所得截面的面积．
（Ⅱ）以AD中点M为原点，MA为x轴，MB为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面APC的法向量和平面PCB的法向量，由此能求出cosθ．

解答： 解：（Ⅰ）过O作BN平行线，交AB于E，交DN于F，取AD中点M，连结PM，
取PM中点N，连结NE，NF，连结MO，NO，
则NE∥PB，NF∥PC，
过点O作平面α与平面PBC平行，则平面α即平面EFN，
由已知得EF=2，NE=NF，∴ON⊥EF，
∵NO=

MN2+MO2

=

7

2

，
∴所得截面的面积S=

1

2

×EF×NO=

1

2

×2×

7

2

=

7

2

．
（Ⅱ）以AD中点M为原点，MA为x轴，MB为y轴，MP为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），P（0，0，

3

），C（-2，

3

，0），B（0，

3

，0），

PA

=（1，0，-

3

），

PB

=（0，

3

，-

3

），

PC

=（-2，

3

，-

3

），
设平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
则

PA • n =x- 3 z=0 PC • n =-2x+ 3 y- 3 z=0

，取z=

3

，得

n

=（3，3

3

，

3

），
设平面PCB的法向量

m

=（a，b，c），
则

PC • m =-2a+ 3 b- 3 c=0 PB • m = 3 b- 3 c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，1），
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

4 3

39 • 2

=

2 26

13

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、线面角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．