解:(1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又∠BCA=90°,∴AC⊥BC,∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点,DE∥BC,
∴DE=
BC.
又由(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E,
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB.
又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形,
∴AD=
AB.
在Rt△ABC中,∠ABC=60°,∴BC=
AB,
∴在Rt△ADE中,sin∠DAE=
=
=
,
即AD与平面PAC所成角的正弦值为
.
(3)∵DE∥BC,又由(1)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC.
又∵AE?平面PAC,PE?平面PAC,
∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角A-DE-P的平面角.
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,
∴∠PAC=90°,∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC.
这时,∠AEP=90°,
故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角.
分析:(1)欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直,根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC,满足定理所需条件;
(2)根据DE⊥平面PAC,垂足为点E,则∠DAE是AD与平面PAC所成的角.在Rt△ADE中,求出AD与平面PAC所成角即可;
(3)根据DE⊥AE,DE⊥PE,由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A-DE-P的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,从而存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角.
点评:考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法,涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强.