Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1或x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，5]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

（1）∵函数f（x）在x=1或x=3处取得极值
∴f'（1）=0，f'（3）=0…（1分）
又∵f'（x）=3x²-2ax+b
∴

f′(1)=3-2a+b=0 f′(3)=27-6a+b=0

…（2分）
∴a=6，b=9…（3分）
经检验，当a=6，b=9时，函数f（x）在x=1或x=3处取得极值    …（4分）
∴a=6，b=9…（5分）
（2）由（1）得所求的函数解析式为f（x）=x³-6x²+9x+c；
∵当x∈[-2，5]时，f（x）＜c²恒成立，
∴x³-6x²+9x+c＜c²，对x∈[-2，5]恒成立，
∴c²-c＞x³-6x²+9x，∴c²-c＞（x³-6x²+9x）_max
设g（x）=x³-6x²+9x，
g′（x）=3x²-12x+9=3（x-3）（x-1），
列表：

x	（-2，1）	1	（1，3）	3	（3，5）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值4	↓	极小值0	↑

且g（-2）=-50，g（5）=20，
故函数g（x）的g（x）_最大值=f（5）=20，
∴c²-c＞20，解得c＜-4或c＞5．
故c的取值范围是：c＜-4或c＞5．…（13分）