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    已知函数f(x)=loga(a－ax)且a＞1，

    （1）求函数的定义域和值域；

    （2）讨论f(x)在其定义域上的单调性；

    （3）证明函数图象关于y=x对称．

     

    【答案】

    （1）定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)；

    （2）f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数；（3）见解析。

    【解析】主要考查对数函数的图象和性质，复合函数的单调性。

    解：(1)定义域为(－∞，1)，值域为(－∞，1)

    (2)设1＞x2＞x1

    ∵a＞1，∴，于是a－＜a－

    则loga(a－a)＜loga(a－)

    即f(x2)＜f(x1)

    ∴f(x)在定义域(－∞，1)上是减函数

    (3)证明：令y=loga(a－ax)(x＜1)，则a－ax=ay，x=loga(a－ay)

    ∴f－1(x)=loga(a－ax)(x＜1)

    故f(x)的反函数是其自身，得函数f(x)=loga(a－ax)(x＜1＝图象关于y=x对称．

     

     

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    x3-
    3
    2
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    （1）若函数f（x）在P（0，f（0））的切线方程为y=5x+1，求实数a，b的值：
    （2）当a＜3时，令g(x)=
    f′(x)
    x
    ，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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    已知函数f(x)=
    1
    2
    x2-alnx    的图象在点P（2，f（2））处的切线方程为l：y=x+b
    （1）求出函数y=f（x）的表达式和切线l的方程；
    （2）当x∈[
    1
    e
    ，e]    时（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求实数k的取值范围．

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    12
    x2+a    （a为常数），直线l与函数f（x）、g（x）的图象都相切，且l与函数f（x）的图象的切点的横坐标为1．
    （1）求直线l的方程及a的值；
    （2）当k＞0时，试讨论方程f（1+x2）-g（x）=k的解的个数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=
    13
    x3+x2+ax    ．
    （1）讨论f（x）的单调性；
    （2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=x3-
    32
    ax2+b    ，a，b为实数，x∈R，a∈R．
    （1）当1＜a＜2时，若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
    （2）在（1）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
    （3）试讨论函数F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的极值点的个数．

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