Question

【题目】如图所示，已知AB为圆O的直径，且，点D为线段AO的中点，点C为圆O上的一点，且，平面ABC，.

（1）求证：平面PAB.

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）连接，可证，再由线面垂直得到，从而得证；

（2）以为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系利用空间向量法求出二面角的余弦值.

（1）证明：连接，因为为圆的直径，

，且，又因为，

， 为等边三角形．

又为的中点，.

因为平面ABC，又平面ABC，，

由平面PAB，平面PAB，且，

所以平面PAB

（2）由（1）知，，互相垂直，以为坐标原点，

，，分别为轴，轴，轴建立如图坐标系，

，，，，

，，设为平面PAC的法向量，则，即，令，解得，

又因为平面，

平面的法向量可取，

，

二面角的余弦值为