Question

【题目】如图所示，某镇有一块空地，其中，，.当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场.为安全起见，需在的周围安装防护网.

（1）当时，求防护网的总长度；

（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？

Answer 1

【答案】(1) ；（2）当时，最小值为.

【解析】

（1）证明为正三角形，可得的周长为9，即防护网的总长度为9km；

（2）设，在和中使用正弦定理求出，，得出的面积关于的函数，利用三角函数恒等变换化简，得出面积的最小值.

（1）在中，，，，，

在中，，，，由余弦定理，得，

，即，，

为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为.

（2）设 ，

,,

又在中，由，得，

在中，由，得，

，

当且仅当，即时，的面积取最小值为.