Question

如图，圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧），且|MN|=3．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ：

x2

4

+

y2

8

=1相交于两点A、B，连接
AN、BN，求证：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），由|MN|=3可得r2=(

3

2

)2+22，从而求圆C的方程；
（Ⅱ）求出点M（1，0），N（4，0），讨论当AB⊥x轴时与AB与x轴不垂直时∠ANM是否相等∠BNM，从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）设圆C的半径为r（r＞0），则圆心坐标为（r，2）．
∵|MN|=3，
∴r2=(

3

2

)2+22，解得r2=

25

4

．
∴圆C的方程为(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

．
（Ⅱ）证明：把y=0代入方程(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

，解得x=1，或x=4，
即点M（1，0），N（4，0）．
（1）当AB⊥x轴时，由椭圆对称性可知∠ANM=∠BNM．
（2）当AB与x轴不垂直时，可设直线AB的方程为y=k（x-1）．
联立方程

y=k(x-1) 2x2+y2=8

，消去y得，（k²+2）x²-2k²x+k²-8=0．
设直线AB交椭圆Γ于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，则x1+x2=

2k2

k2+2

，x1•x2=

k2-8

k2+2

．
∵y₁=k（x₁-2），y₂=k（x₂-2），
∴kAN+kBN=

y1

x1-4

+

y2

x2-4

=

k(x1-1)

x1-4

+

k(x2-1)

x2-4

=

k(x1-1)(x2-4)+k(x2-1)(x1-4)

(x1-4)(x2-4)

．
∵(x1-1)(x2-4)+(x2-1)(x1-4)=2x1x2-5(x1+x2)+8=

2(k2-8)

k2+2

-

10k2

k2+2

+8=0，
∴k_AN+k_BN=0，∠ANM=∠BNM．
综上所述，∠ANM=∠BNM．

点评：本题考查了圆的方程的求法及圆锥曲线与直线的交点问题，化简比较复杂，通过根与系数的关系简化运算，要细心，属于中档题．