Question

【题目】已知函数为自然对数的底数)．

（1）若,求函数的单调区间；

（2）若,且方程在内有解,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)递增区间为,递减区间为；(2)．

【解析】

试题分析：(1)借助题设条件运用导数求解；(2)借助题设条件运用导数的知识构造函数求解.

试题解析：

（1）当,所以, 时, 的单调递减区间为；时, 的单调递增区间为,递减区间为；时, 的单调递增区间为,递减区间为.

（2）由得.由得,设,则 在内有零点. 设为在内的一个零点, 则由、知在区间和上不可能单调递增,也不可能单调递减,设,则在区间和上均存在零点, 即在上至少有两个零点.

.

当时, 在区间上递增,不可能有两个及以上零点；当时, 在区间上递减,不可能有两个及以上零点；

当时, 得所以在区间上递减, 在上递增, 在区间上存在最小值,若有两个零点, 则有：.

,设,则,令,得,当时, 递增, 当时,

递减, 恒成立.

由,得.

当时, 设的两个零点为,则在递增, 在递减, 在递增, 所以,则在内有零点.

综上,实数的取值范围是.