Question

1．若函数f（x）是定义域D内的某个区间I上的增函数，且h（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上是减函数，则称y=f（x）是I上的“单反减函数”，已知f（x）=e^x+x，g（x）=x+lnx+$\frac{2}{x}$．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上是否是“单反减函数”，并说明理由；
（2）若g（x）是[$\frac{a}{4}$，+∞）上的“单反减函数”，求实数a取值范围．

Answer 1

分析 （1）求函数f（x）的导数f′（x），判断f（x）在区间（0，+∞）的单调性，再令h（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用导数判断h（x）在区间（0，+∞）的单调性，即可得出结论；
（2）利用导数判断g（x）在[0，+∞）的单调性，再h（x）=$\frac{g（x）}{x}$，利用导数判断h（x）＜0在（0，+∞）上的单调性，得出g（x）是[1，+∞）上的“单反函数”，从而求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x+x，∴f′（x）=e^x+1＞0，
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数，
设h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{{e}^{x}}{x}$+1，
∴h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$（x≥0）在区间（0，+∞）上不恒成立，
∴h（x）在区间（0，+∞）上不一定是增函数，
∴函数f（x）不是区间（0，+∞）上的“单反减函数”；
（2）∵g（x）=x+lnx+$\frac{2}{x}$，x＞0，
∴g′（x）=1+$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+x-2}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+2）（x-1）}{{x}^{2}}$，
当x≥1时，g′（x）≥0，
g（x）在[0，+∞）单调递增，
又h（x）=$\frac{g（x）}{x}$=1+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-$\frac{4x}{{x}^{3}}$=$\frac{x-xlnx-4}{{x}^{3}}$，
令m（x）=x-xlnx-4，
m′（x）=1-1-lnx-lnx=-lnx，
当x∈（0，1）时，m′（x）＞0，m（x）是单调递增；
当x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减，
∴m（x）≤m（1）=-3，即m（x）＜0，
∴h′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，h（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g（x）是[1，+∞）上的“单反函数”，
又∵g（x）是[$\frac{a}{4}$，+∞）上的“单反函数”，
∴$\frac{a}{4}$≥1，即a≥4，
所以实数a的取值范围是[4，+∞）．

点评 本题考查了利用导数判断函数在某一区间上的单调性问题，也考查了新定义的应用问题，是综合性题目．