Question

已知△OBC的顶点O（0，0），B（3，0），C（2，4）．
（1）求△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标；
（2）证明G、F、H三点共线．

Answer 1

分析：（1）三角形的重心是中线的交点，再根据题意分别得到三角形任意两条边的中线，然后联立直线的方程求出三角形的重心．三角形的外心是垂直平分线的交点，再根据题意分别求出OB边上与BC边上的垂直平分线的方程，然后联立两条直线的方程即可得到答案，三角形的垂心是高线的交点，再求出OB与BC边上高线的方程，然后联立两条直线的方程即可得到答案．
（2）由（1）可得kGF=-

5

2

，kHF=-

5

2

，即k_GF=k_HF，进而得到三点共线．

解答：解：（1）由题意可得：△OBC的顶点O（0，0），B（3，0），C（2，4），
因为重心是中线的交点，
所以根据题意得到OB边上的中线方程为：y=8x-12，BC边上的中线为：4x-5y=0，
联立两条直线的方程可得：x=

5

3

，y=

4

3

，即G(

5

3

，

4

3

)；
因为外心是垂直平分线的交点，
所以根据题意可得：OB边上垂直平分线的方程为：x=

3

2

，BC边上垂直平分线的方程为：2x-8y+11=0，
联立两条直线的方程可得：x=

3

2

，y=

7

4

，即F（

3

2

，

7

4

）；
因为垂心是高线的交点，
所以OB边上高线的方程为：x=2，BC边上高线的方程为：x-4y=0，
联立两条直线的方程可得：x=2，y=

1

2

，即H（2，

1

2

）．
（2）由（1）可得：G(

5

3

，

4

3

)，F（

3

2

，

7

4

），H（2，

1

2

），
所以kGF=-

5

2

，kHF=-

5

2

，即k_GF=k_HF，
所以G、F、H三点共线．

点评：本题主要考查三角形的五心的定义与直线的交点问题，以及证明三点共线的方法，方法有：斜率相等，向量共线，由两点写出直线方程第三点的坐标符合此直线方程，两点之间的距离公式等方法．